sábado, 5 de septiembre de 2009

Representación gráfica

Representación de los vectores

Se representa como un segmento orientado, con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Así, por ejemplo; \mathbf A, \ \mathbf a,\ \boldsymbol{\omega}, ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: |\mathbf A|, \ |\mathbf a\,\ |\boldsymbol{\omega}|, ...

Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma \mathbf A = \text{MN}, \mathbf B=\text{OP} \,, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo \hat\mathbf{u}, \hat\mathbf{v}.

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

  • Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
  • Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
  • Vectores ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

  • Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos)
  • Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
  • Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección
  • Vectores colineales: aquellos que comparten una misma recta de acción

Componentes de un vector

Componentes del vector

Un vector se puede expresar como una combinación lineal de tres de vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En cordenadas cartesianas, los versores cartesianos se representan por \mathbf{i} \,, \mathbf{j} , \mathbf{k} , correspondiendo a las direcciones de los ejes cartesianos x, y y z.

Expresión analítica

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)

o expresaese como una combinación de los versores definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

\mathbf{a} = a_x \, \mathbf{i}+ a_y \, \mathbf{j} + a_z \, \mathbf{k}

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo
Método del triángulo

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo.

Método analítico. Suma y diferencia de vectores [editar]

Dados dos vectores libres,

\mathbf{a} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k})
\mathbf{b} = (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \mathbf{i} +a_y \mathbf{j} +a_z \mathbf{k}) \pm (b_x \mathbf{i} +b_y \mathbf{j} +b_z \mathbf{k})

y ordenando las componentes,

\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \pm b_x) \mathbf{i} + (a_y \pm b_y) \mathbf{j} \pm (a_z + b_z)\mathbf{k}

Conocidos los módulos de dos vectores dados, \mathbf{a} y \mathbf{b}, así como el ángulo θ que forman entre sí, el módulo de \mathbf{a} \pm \mathbf{b} es:

|\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 \pm 2ab \cos \theta}

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es la del vector original y cuyo sentido es el mismo u opuesto según que el escalar sea positivo o negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).

Partiendo de un escalar n \, y de un vector \mathbf{a} , el producto de n \, por \mathbf{a} se representa n \, \mathbf{a} y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es, dado el vector

\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

su producto por el escalar n \, es

n \, \mathbf{a} = na_x \mathbf{i} + na_y \mathbf{j} + na_z \mathbf{k}

esto es, se multiplica por n \, cada una de las componentes del vector.

Producto escalar

Producto vectorial

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

\mathbf{a}(t)= a_x(t) \mathbf{i} +a_y(t) \mathbf{j} +a_z(t) \mathbf{k}

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

\frac{d}{dt}\mathbf{a}(t)= \frac{d}{dt}a_x(t) \mathbf{i} + \frac{d}{dt}a_y(t) \mathbf{j} + \frac{d}{dt}a_z(t) \mathbf{k}.

teniendo en cuenta que los versores son constantes en módulo, dirección, y sentido.

\mathbf{r}(t)=\sin(t) \mathbf{i}+\cos(t)\mathbf{j}+ 5t\mathbf{k}

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

\mathbf{r}(t) = \sin(t) \mathbf{i} + \cos(t) \mathbf{j} + 5t \mathbf{k}

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función \mathbf r (t)\, representa el vector de posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\sin(t) \mathbf{i} + \frac{d}{dt}\cos(t) \mathbf{j} + \frac{d}{dt}5t \mathbf{k}

Realizando la derivada:

\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \cos(t) \mathbf{i} - \sin (t) \mathbf{j} + 5 \mathbf{k}

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

\mathbf{v}(t) = \cos(t) \mathbf{i} - \sin(t) \mathbf{j} + 5 \mathbf{k}

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Otras operaciones

Ángulo entre dos vectores

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores \mathbf{a} \, y \mathbf{b} \, viene dado por

\cos \theta = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{|a \, |b|}

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en su definición usan el producto vectorial son en realidad pseudovectores newtonianos.

En teoría especial de la relatividad, por ejemplo, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores O\, y \bar{O} deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

\bar{V}^\beta = \sum_{\alpha=0}^3 \Lambda_\alpha^\beta \ V^\alpha


Donde \Lambda_\alpha^\beta son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

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